Ridimensionamento, simmetrie speculari e consonanze musicali tra le distanze dei pianeti del sistema solare

Maggio 1, 2022Giugno 24, 2022 Poeta Minore armonia delle sfere, autorganizzazione orbitale, divina proporzione, Frontiers in Astronomy and Space, Geddes e King-Hele, legge di Titius-Bode, Michael J. Bank, musica delle sfere, musica e astronomia, Nicola Scafetta, pitagora, risonanze orbitali, scala pitagorica, simmetria speculare, simmetrie orbitali, sistema solare, Università Federico II

Questo fantastico articolo scientifico evidenzia rapporti musicali pitagorici nel sistema planetario in cui viviamo. La Musica delle Sfere o Armonia delle Sfere, ha concreti fondamenti, dopo essere stata indicata 2500 anni fa dal maestro Pitagora di Samo.
Gli autori sono Nicola Scafetta, che ha all’attivo 106 pubblicazioni scientifiche e l’americano Michael J. Bank, su Frontiers in Astronomy and Space.
Per la comprensione sono richieste poche nozioni di base (matematica a livello di scuole superiori), e contiene già una introduzione alle conoscenze di base della musica. Altri concetti, come “risonanza secolare” e “blocco delle maree” (tidal locking) e “valore di probabilità p”, sono facilmente spiegate su Wikipedia. È richiesta solo molta pazienza per seguire tutto il discorso. I paragrafi chiusi “a fisarmonica”, apribili cliccando sul triangolino nero, possono essere trascurati da chi vuole solo una conoscenza superficiale (ma restano molto interessanti).
Pitagora visse in quella che oggi è la Calabria, la cd. Magna Grecia, e fu uno dei principali filosofi dell’antichità. Personaggio avvolto dal mito, che lo vuole di nascita semidivina e che trasse le sue conoscenze dai sacerdoti egizi.
Al momento questa è la prima e unica traduzione integrale italiana dell’articolo di Bank e Scafetta per la rivista Frontiers in Astronomy and Space, completa di tutti i minimi dettagli, formule e immagini. Personalmente sono anni che studio la Musica delle Sfere e i principi di accordatura. Ho tradotto questo articolo al meglio che ho potuto, ma potrebbe contenere ancora errori o refusi (se ne trovate e vorrete segnalarli, vi ringrazierò).

Autori:

Michael J. Bank, Danbury Music Center, Danbury, CT, Stati Uniti
Nicola Scafetta, professore associato, Department of Earth Sciences, Environment and Georesources, Università di Napoli Federico II, Complesso Universitario di Monte S. Angelo, Naples, Italy, autore di 106 pubblicazioni scientifiche.
Questi autori condividono la prima paternità

Abstract

I sistemi orbitali sono spesso auto-organizzati e/o caratterizzati da relazioni armoniche. Ispirandoci alla teoria musicale, riscriviamo le equazioni di Geddes e King-Hele (QJRAS, 24, 10–13, 1983) per simmetrie speculari tra le distanze dei pianeti del Sistema Solare in una forma elegante e compatta utilizzando la potenza 2/3 dei rapporti delle lunghezze del semiasse maggiore di due pianeti vicini (otto coppie, compresa la cintura degli asteroidi). Questa metrica suggerisce che il Sistema Solare potrebbe essere caratterizzato da una struttura in scala e simile a uno specchio rispetto alla cintura di asteroidi che mette in relazione i pianeti terrestri e gioviani. Queste relazioni sono basate su un rapporto 9/8 moltiplicato per potenze di 2, che corrispondono musicalmente all’intervallo dell’Epogdoon pitagorico (una Seconda maggiore) e la sua addizione con una o più ottave. Estensioni dello stesso modello vengono discusse e trovate compatibili anche con gli ancora ipotetici asteroidi vulcanoidi rispetto agli oggetti transnettuniani. La relazione trovata suggerisce anche che l’auto-organizzazione planetaria del nostro sistema potrebbe essere generata dalle risonanze 3:1 e 7:3 di Giove, che è già noto per aver modellato la cintura degli asteroidi. Il modello proposto prevede le principali lacune dell’asteroide di Kirkwood e il rapporto tra i parametri orbitali planetari con una precisione del 99%, che è tre volte migliore rispetto a un modello alternativo di risonanza armonica recentemente proposto per il Sistema Solare. Inoltre, i rapporti delle coppie planetarie vicine corrispondono a quattro “consonanze” musicali aventi rapporti di frequenza di 5/4 (terza maggiore), 4/3 (quarta perfetta), 3/2 (quinta perfetto) e 8/5 (sesto minore); la probabilità di ottenere questo risultato casualmente ha un p < 0,001. Le consonanze musicali sono toni “piacevoli” che si relazionano armoniosamente quando suonati insieme, il che suggerisce che le orbite dei pianeti del nostro Sistema Solare potrebbero formare una sorta di struttura gravitazionalmente ottimizzata e coordinata. La modellazione fisica indica che le perturbazioni che non conservano l’energia potrebbero portare un sistema planetario in uno stato periodico auto-organizzato con caratteristiche vagamente simili a quelle che si trovano nel nostro Sistema Solare. Tuttavia, la nostra scoperta specifica suggerisce che l’organizzazione planetaria del nostro Sistema Solare potrebbe essere piuttosto peculiare e basata su strutture dinamiche più complesse e sconosciute.

Introduzione

Sin dai tempi antichi la stabilità del Sistema Solare, le sue regolarità e i movimenti dei suoi pianeti hanno attirato l’attenzione di astronomi e filosofi perché le loro rivoluzioni orbitali sembravano essere correlate da semplici proporzioni ( ter Haar, 1948; Stephenson, 1974; Godwin, 1992). Questa osservazione ha portato alla comprensione che i sistemi solari e lunari potrebbero essere caratterizzati da risonanze armoniche, che di solito sono il risultato di processi gravitazionali o di marea auto-organizzati che cedono a orbite stabili a lungo termine del pianeta e della Luna (Lune e Morbidelli, 1995; Aschwanden, 2018). In effetti, le orbite circolari planetarie sono dinamicamente instabili, a meno che i loro periodi orbitali reciproci non rientrino in rapporti di numeri interi armonici chiamati “commensurabilità orbitali” (Peale, 1976; McFadden et al., 1999; Pakter e Levin, 2018).

Ad esempio, all’interno del nostro Sistema Solare, 5 periodi orbitali di Giove corrispondono approssimativamente a 2 periodi di Saturno, 13 periodi orbitali di Venere corrispondono approssimativamente a 8 periodi della Terra e Plutone compie due orbite ogni tre di Nettuno (Scafetta, 2014a). Inoltre, ci sono le note risonanze 1:2:4 delle lune di Giove Ganimede, Europa e Io, studiate da Pierre-Simon Laplace (1749–1827), e le lacune primarie nella cintura principale degli asteroidi a 4:1, 3:1, 5:2, 7:3, le risonanze 2:1 di movimento medio tra gli asteroidi e Giove, notate per la prima volta nel 1866 da Daniel Kirkwood (1814–1895) (Moons and Morbidelli, 1995; Moons et al., 1998).

Il sistema solare Trappist-1 è anche un esempio esoplanetario molto particolare. È composto da una stella nana rossa e sette pianeti delle dimensioni della terra etichettati b, c, d, e, f, g e h (tre sono nella zona abitabile) le cui orbite stabili sono caratterizzate da tre corpi vicino-risonanze di tipo Laplace (Gillon et al., 2017 ; Luger et al., 2017; Tamayo et al., 2017). I sette periodi orbitali sono rispettivamente: 1.511, 2.422, 4.049, 6.101, 9.207, 12.352 e 18.773 giorni (Agol et al., 2021). Pertanto, i rapporti di periodo tra coppie di pianeti adiacenti (c/b, d/c, e/d, f/e, g/f e h/g) sono rispettivamente 1.603, 1.672, 1.507, 1.509, 1.342, 1.520. Questi rapporti sono molto vicini ai seguenti rapporti interi: 8:5, 5:3, 3:2, 3:2, 4:3, 3:2, rispettivamente, con un errore relativo medio dello 0,6%, che è la più lunga serie nota di esopianeti quasi risonanti. Le risonanze planetarie del moto del sistema Trappist-1 sono così precise e peculiari da essere tradotte in musica (Chang, 2017; Russo, 2018).

In una prospettiva più ampia, l’auto-organizzazione gravitazionale e le risonanze armoniche, e più specificamente le disuguaglianze planetarie invarianti che coinvolgono le congiunzioni planetarie e i loro battiti, generano complesse strutture di sincronizzazione planetaria nel Sistema Solare che sembrano modulare anche la variabilità solare e il cambiamento climatico sulla Terra. Questi fenomeni sono attualmente oggetto di studio da parte di diversi autori es. (Charvàtovà, 1997 ; Tattersall, 2013; Scafetta, 2014b; Scafetta et al., 2016; Beer et al., 2018; Scafetta, 2020; Stefani et al., 2021), e altri.

Il concetto filosofico di risonanza orbitale è noto come “Musica Universalis” o “Musica delle Sfere” o “Armonia delle Sfere”, e fu sviluppato per la prima volta nel VI secolo a.C. da Pitagora di Samo (570–495 a.C.) e dai suoi seguaci (Stephenson, 1974; Godwin, 1992; Rogers, 2016), che metteva in relazione i periodi planetari con i principi dell’armonia musicale. Il filosofo ha notato che l’altezza di una nota musicale è inversamente proporzionale alla lunghezza della corda che la produce e che gli intervalli tra frequenze sonore armoniche formano semplici rapporti numerici. Inoltre, Pitagora propose che i corpi del Sistema Solare, inclusi il Sole, la Luna e i pianeti, emettessero tutti un mormorio o leggero suono musicale unico basato sulla loro rivoluzione orbitale. Secondo Filolao (470-385 aC), le armoniche planetarie erano caratterizzate da quattro intervalli musicali di base: 2:1 (ottava), 3:2 (quinta), 4:3 (quarta) e 1:1 (unisono).

Qui adottiamo un approccio transdisciplinare simile e mostriamo che la teoria musicale può ancora essere utile per esplorare alcune possibili caratteristiche sconosciute che caratterizzano l’organizzazione gravitazionale interplanetaria del nostro Sistema Solare. Infatti, lo stesso Keplero è stato ispirato da principi musicali (Cartwright et al., 2021).

Infatti, la corrispondenza tra i rapporti numerici interi nelle risonanze orbitali e la teoria musicale fu ulteriormente sviluppata da Johannes Kepler (1571–1630) in Harmonices Mundi (The Harmony of the World, 1619), in cui metteva in relazione i toni musicali con i periodi, le distanze e velocità angolari dei pianeti cfr. (Rogers, 2016). Molto probabilmente, la concezione di Keplero della “Musica dei mondi” rifletteva la polifonia del suo tempo sviluppata da compositori come Giovanni Pierluigi da Palestrina (1525–1594).

Ad esempio, ha notato che, rispetto al Sole, la velocità angolare della Terra varia di un semitono (un rapporto di 16:15), tra afelio e perielio. Analoghe relazioni musicali furono riscontrate anche per gli altri pianeti tanto che Keplero ipotizzò l’esistenza di un coro celeste composto da un tenore (Marte), due bassi (Saturno e Giove), un soprano (Mercurio) e due contralti (Venere e Terra). Queste ricerche portarono alla scoperta della “terza legge del moto planetario”. Ricordiamo che la prima e la seconda legge dei moti planetari di Keplero furono proposte 10 anni prima in Astronomia Nova (1.609). Le leggi di Keplero erano basate empiricamente e pubblicate quasi 100 anni prima che Newton proponesse la legge gravitazionale che ne forniva la base fisica.

La terza legge stabilisce che il quadrato del periodo orbitale T di un pianeta è proporzionale al cubo della lunghezza del semiasse maggiore della sua orbita a come:

dove G è la costante gravitazionale universale, m è la massa del pianeta e M_⊙ è la massa del Sole. Poiché M_⊙ è molto più grande di qualsiasi massa planetaria, c può essere considerata costante per l’intero Sistema Solare. Inoltre c = 1 se il periodo è misurato in anni e la lunghezza del semiasse maggiore è misurata in unità astronomiche (cioè la distanza media tra il Sole e la Terra). Infine, stabilendo una semplice relazione tra il periodo e il semiasse maggiore di un’orbita (a = T^2/3 o T = a^3/2), l’ Eq. (1) consente la riscrittura di qualsiasi equazione planetaria dipendente da uno di questi parametri orbitali in funzione dell’altro.

Ulteriori tentativi di modellare il Sistema Solare utilizzando semplici relazioni includevano la “legge di Titius-Bode delle distanze planetarie” (Bode, 1772 ; Titius, 1776 ; vom Herrn and Bonnet, 1972), che —con buona approssimazione— riproduceva correttamente la posizione orbitale di Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove e Saturno, e predisse con successo quelli di Cerere e Urano, anche se fallì per Nettuno. Ulteriori tentativi di migliorare tali metodi sono stati proposti da altri autori, ad esempio (Molchanov, 1968 ; Nieto, 1972 ; Basano e Hughes, 1979 ; Louise, 1982), fino a tempi molto recenti, ad esempio (Tattersall, 2013 ; Scafetta, 2014a ; Aschwanden, 2018), e riferimenti citati.

La figura 1 mostra i semiassi maggiori dei pianeti rispetto alla legge empirica di Titus-Bode: a_z = 0,4 + 0,3 × 2^z per z = – ∞ (Mercurio), 0 (Venere), 1 (Terra), 2 (Marte), …, 7 (Nettuno) (Bode, 1772; Titius, 1766)— e un semplice adattamento esponenziale del tipo f (x ) = 2 ^{(ax + b) × 3/2}, dove i valori interi di x denotano il numero di serie del pianeta da 1 a 9. L’adattamento fornisce a = 0,529 ± 0,016 e b = −1,53 ± 0,09. Questi coefficienti sono molto vicini al rapporto intero 1/2 e −3/2, il che potrebbe suggerire un’equazione ideale del tipo a_n = 2^–9/4 2^3n/4 ≈ 0,21 × 1,68ⁿ, dove n va da 1 (Mercurio) a 9 (Nettuno), e n = 5 denota la cintura degli asteroidi.

FIGURA 1

FIGURA 1 . I semiassi maggiori dei pianeti contro la legge di Titus-Bode e un semplice adattamento esponenziale.

Relazioni simili si trovano nella letteratura teorica. Ad esempio, Pakter e Levin (2018) hanno studiato la stabilità e l’auto-organizzazione di sistemi planetari simili al nostro Sistema Solare. Le instabilità gravitazionali di solito portano a eventi catastrofici perché i pianeti si scontrano o vengono espulsi dal sistema planetario. Tuttavia, questi autori hanno mostrato che se il movimento planetario è quasi periodico ei pianeti potrebbero guadagnare o perdere energia dalla polvere orbitante interplanetaria, le simulazioni al computer su scale temporali astronomiche suggeriscono che tali sistemi potrebbero raggiungere una struttura planetaria auto-organizzata. Le equazioni proposte erano le seguenti:

dove M è la massa del Sole, m è la massa del pianeta (che questo modello suppone essere tutti uguali), r _i è la distanza tra il Sole e il pianeta i , r _ij è la distanza tra i pianeti i e j , e

f_{i}^{θ}

è la forza angolare responsabile dell’interazione tra il pianeta i e la polvere residua del disco protoplanetario.

Pakter e Levin (2018) hanno dimostrato che i sistemi fino a 9 pianeti raggiungono uno stato dinamico auto-organizzato in cui i periodi anomali tra i pianeti radialmente adiacenti potrebbero essere sincronizzati in una risonanza quasi 2:1. Inoltre, diverse simulazioni hanno mostrato che il rapporto del semiasse maggiore potrebbe seguire una progressione geometrica del tipo r_n ∼ cⁿ, dove c è vicino a 1,6–1,7, che è simile a quanto trovato per il Sistema Solare: Figura 1. Ad esempio, per un perfetto rapporto di risonanza 2:1, le lunghezze del semiasse maggiore seguirebbero una relazione simile a Titus-Bode del tipo: r_n ∼ 2 ^2n/3 ≈ 1,59 ⁿ. Tuttavia, questi autori non sono stati in grado di trovare un sistema planetario stabile composto da più di 6 pianeti. Hanno anche riconosciuto che il meccanismo proposto non poteva essere “unico” nello spiegare l’auto-organizzazione di un Sistema Solare. Non sono infatti riusciti a simulare esattamente il nostro Sistema Solare, che è composto da 8 pianeti di diverse masse più l’asteroide e la fascia di Kuiper.

Osserviamo anche che uno dei principali problemi con la legge di Titius-Bode (e anche con la funzione di adattamento sopra) è che tale equazione non è fisicamente vincolata perché il parametro z (o n nella funzione di adattamento) non ha un limite teorico superiore, il che implica che le equazioni alla fine fallirebbero la previsione. Anche l’uso di z =− ∞ per Mercurio nella legge originale di Titius-Bode era arbitrario perché tale valore era stato scelto solo per correggere la divergenza. Pertanto, tali equazioni non sembrano essere statisticamente né fisicamente robuste. Di seguito proponiamo un modello planetario speculare che non presenta lo stesso problema perché sembra essere fisicamente vincolato dalle proprietà del Sistema Solare stesso.

In questo lavoro, estendiamo prima alcuni dei calcoli di Keplero (1992)a tutti gli otto pianeti del Sistema Solare (nel 17° secolo la fascia degli asteroidi, Urano e Nettuno erano sconosciuti) e, nella maggior parte dei casi, abbiamo riscontrato che nei periodi, distanze e velocità angolari emergono semplici rapporti di numeri interi solo per alcuni pianeti coppie. Questo risultato, tuttavia, implica che non è possibile trovare un corrispondente rapporto musicale per tutti i rapporti planetari, il che suggerisce che il nostro Sistema Solare non è caratterizzato da una struttura di autorganizzazione simile a quella che si trova, ad esempio, nel Sistema Solare Trappista-1 . Pertanto, abbiamo cercato metriche orbitali alternative e verificato se potevano produrre una corrispondenza musicale per tutte le coppie planetarie. Il presupposto è che i rapporti adottati negli accordi musicali tradizionali e, in particolare, quelli che formano le consonanze, siano peculiari perché armoniosamente interconnessi e, quindi, possono portare alla luce importanti relazioni fisiche (Cartwright et al., 2021).

Una caratteristica interessante del Sistema Solare è che è composto da quattro pianeti terrestri interni (Mercurio, Venere, Terra e Marte) e quattro pianeti giganti gassosi esterni (Giove, Saturno, Urano e Nettuno) divisi dalla fascia di asteroidi più un grande numero di asteroidi e comete: vedi la mappa orbitale del Sistema Solare, opera di Lutz (2019) . Ci siamo quindi soffermati sulle simmetrie speculari tra le distanze dei pianeti trovate da Geddes e King-Hele (1983), oggi meglio conosciute solo nella letteratura scientifica popolare (Martineau, 2002).

Questi autori hanno notato che le distanze degli otto pianeti del Sistema Solare dal Sole potrebbero essere trattate come un sistema riflesso speculare rispetto alla cintura degli asteroidi. Qui applichiamo una trasformazione non lineare di queste equazioni, che è stata ispirata dalla pratica musicale occidentale di dividere l’ottava (corrispondente a un raddoppio di frequenza) in 12 parti uguali, dette semitoni.

Queste 12 parti uguali corrispondono, ad esempio, ai 12 tasti dell’ottava di un pianoforte: i dodici toni corrispondenti sono C, Db, D, Eb, E, F, Gb, G, Ab, A, Bb e B, con le note b (bemolle) rappresentate dai tasti neri. Ciascun tono corrisponde a un numero specifico compreso tra 1 e 2 che rappresenta un rapporto di frequenza tra quel tono e il tono di riferimento originale come riepilogato nella Tabella 1 . Usiamo i toni musicali elencati come etichette per esprimere tali valori numerici.

TABELLA 1

TABELLA 1. Valori numerici dei toni musicali (in chiave di C) dei sistemi 12-TET ugualmente temperati e 12-TJI giustamente intonati; i loro valori in centesimi musicali (MC) valutati con l’ Eq. 5; e se formano o no una consonanza.

Dei 12 rapporti possibili all’interno dell’ottava, solo 7 sono considerati consonanze armoniche tradizionali (Stephenson, 1974). Nella chiave di C, questi sono etichettati C, Eb, E, F, G, Ab e A, dove C è la nota di riferimento a cui vengono confrontati tutti gli altri toni. Nella musica, le coppie di toni sono considerate consonanze armoniche se sono percepite come “piacevoli” quando suonate insieme (Thompson, 1946). Si pensa che la loro piacevole qualità derivi da semplici rapporti di frequenza tra i loro membri, vale a dire se i rapporti sono costituiti da piccoli numeri interi relativi a medi aritmetici e armonici. In fisica, i rapporti consonantici potrebbero essere correlati a un concetto di stabilità ed equilibrio reciproci mentre i rapporti dissonanti potrebbero esprimere una qualche forma di instabilità o tensione.

Ispirandoci ai sistemi di accordatura musicale classica, esploriamo un modo alternativo per riscrivere le equazioni proposte da Geddes e King-Hele (1983) in una forma molto compatta ed elegante, che suggerisce una possibile organizzazione gravitazionale razionale del Sistema Solare che coinvolge il ridimensionamento e simmetrie speculari. Le stesse equazioni implicano rapporti di coppie di pianeti vicini corrispondenti a quattro consonanze musicali armoniche principali. Il nostro modello proposto viene quindi confrontato con un modello di risonanza orbitale armonica alternativo recentemente proposto (Aschwanden, 2018) per testarne le prestazioni nella previsione delle posizioni dei pianeti del Sistema Solare e si scopre che ha prestazioni migliori. Infine, rispondiamo alla breve, ma a nostro avviso inadeguata, critica di Abhyankar (1983), che potrebbe aver impedito fino ad ora un ulteriore sviluppo scientifico delle idee proposte da Geddes e King-Hele (1983) come auspicato dagli stessi autori.

I sistemi di accordatura 12-TJI e 12-TET e le loro consonanze

In questa sezione introduciamo il lettore ad alcuni concetti base dei sistemi di accordatura musicale, che costituiscono la metrica matematica che adottiamo per ottenere i nostri risultati.

Nell’attuale pratica musicale occidentale, l’ottava (corrispondente a un raddoppio della frequenza) è divisa quasi esclusivamente in 12 parti, etichettate come semitoni. La divisione dell’ottava in dodici semitoni probabilmente deriva dalla filosofia pitagorica in cui nuovi toni venivano generati prendendo il rapporto 3/2. Dopo 12 iterazioni di questo tipo, il rapporto di altezza rispetto alla nota originale è (3/2)¹² = 129,746. Trasponendo questa nota verso il basso di 7 ottave (dividendo l’altezza per 2⁷ = 128), si ottiene un ritorno al tono originale con solo una leggera discrepanza di un errore dell’1,364 % (noto come comma pitagorico). In questo modo si possono definire dodici toni distinti o classi di altezza con solo un leggero margine di errore: si veda Rubinstein (2000)per ulteriori dettagli. Quindi, l’ottava sulla moderna tastiera del pianoforte ha 12 note.

Il sistema a 12 toni, tuttavia, è emerso da una lunga storia di evoluzione delle conoscenze acustiche e dei sistemi di accordatura. Il rapporto fondamentale delle lunghezze delle corde è 2 a 1, noto come ottava. L’ottava può essere divisa in due intervalli prendendo due mezzi diversi (per a = 1 e b = 2):

• media aritmetica = (a + b)/2 = 3/2 (detta “Quinta Perfetta”);

• media armonica = 2ab/(a + b) = 4/3 (detta “Quarta perfetta”).

Questo produce le quattro note principali del set musicale pitagorico: Unisono (1/1), Perfect Fourth (4/3), Perfect Fifth (3/2) e Octave (2/1). La differenza tra la Quinta Perfetta e la Quarta Perfetta dà il pitagorico epogdoon 9/8 (una Seconda maggiore), che corrisponde musicalmente a un tono intero, ad esempio l’intervallo da C a D. Notiamo che la media geometrica

\sqrt{a b}

non è stata utilizzata per il calcolo degli intervalli armonici, perché produce , che è un numero irrazionale che i Pitagorici consideravano imperfetto. Anche il numero 17 era considerato imperfetto perché separa il 16 dal suo epogdoon 18. La figura 2 riassume la teoria musicale pitagorica. Le quattro note sono state discusse nel Timeo di Platone dove erano legate all’armonia del cosmo (Godwin, 1992); si basano sui numeri 1, 2, 3 e 4 (la somma è 10), che formavano il simbolo mistico delle tetrattys che simboleggiavano la musica universalis, il Cosmo, i quattro elementi classici (fuoco, aria, acqua e Terra) e l’organizzazione dello spazio.

FIGURA 2

FIGURA 2. Teoria musicale pitagorica: diagramma che mostra le relazioni tra epogdoon, diatessaron, diapente e diapason, che corrispondono a Seconda maggiore (9/8), Quarta perfetta (4/3), Quinta perfetta (3/2) e Ottava (2/1), rispettivamente. I rapporti di lunghezza pitagorici in questa figura sono l’inverso moltiplicativo delle relazioni di frequenza utilizzate in questo articolo.

Le quattro note sono anche etichettate come consonanze armoniche poiché suonano “piacevoli” quando suonate insieme. Tuttavia, questa proprietà non va intesa solo come una percezione umana, ma come conseguenza dei semplici rapporti matematici che caratterizzano queste note per cui la gradazione soggettiva da consonanza a dissonanza dovrebbe corrispondere ad una gradazione dei rapporti suono-frequenza da rapporti semplici a quelli più complessi. L’International Cyclopedia of Music and Musicians [si chiama così] (Thompson, 1946) spiega: “Acusticamente, la consonanza è il grado di somiglianza e fusione tra due o più toni. Più basso è il rapporto, come 2:1, 3:2, 4:3, maggiore è il grado di fusione, quindi consonanza. La consonanza si distingue anche per il grado di libertà dai battiti. L’ottava (2:1) è la più perfetta consonanza acustica ed è priva di battiti; segue poi, in ordine di grado, la quinta (3,2), la quarta (4,3), ecc.; la serie diventa sempre più dissonante man mano che i rapporti si discostano dal più semplice, cioè 2:1.“

Diversi lavori scientifici hanno collegato l’acustica delle consonanze alle loro qualità estetiche ( McDermott et al., 2010 ; Plack, 2010 ; Bones et al., 2014 ). Tuttavia, questi rapporti sembrano avere anche un profondo significato geometrico e fisico, il che potrebbe spiegare perché potrebbero essere rilevanti per rivelare un’organizzazione nascosta del Sistema Solare e di altri sistemi fisici. Ad esempio, i quattro toni principali del set musicale pitagorico descrivono un’orbita kepleriana. Infatti, se a è il semiasse maggiore, b il semiasse minore e l = a (1− e ²), si trova che a è la media aritmetica, b la media geometrica e l la media armonica di r_min e r_max (Cartwright et al., 2021).

Nel XVI secolo teorici musicali come Gioseffo Zarlino (1.517–1.590) completarono il tradizionale insieme di consonanze armoniche aggiungendo altri quattro intervalli: la “Terza Minore” (6/5); il “Terzo Maggiore” (5/4); la “Sesta Minore” (8/5); e la “Sesta Maggiore” (5/3) (Zarlino, 1950). Questi rapporti possono essere derivati anche come medie armoniche e aritmetiche di 1/1 e 3/2 nel caso delle terze e medie tra 4/3 e 2/1 nel caso delle seste (Forster, 2010). Il sistema proposto è stato definito come giusto perché tutte le note sono correlate da intervalli definiti da numeri razionali (Cartwright et al., 2021). Nei sistemi di accordatura che utilizzano la giusta intonazione, i rapporti di consonanza armonica esatti sono massimizzati.

Nella nostra analisi, utilizziamo la scala a dodici toni a cinque limiti che massimizza la giusta intonazione tra le coppie di toni dell’ottava; ci riferiremo a questo come al sistema di intonazione giusta a dodici toni (12-TJI). In questo sistema si assegnano rapporti più complessi ai restanti cinque toni non consonanti (o dissonanti) dell’ottava: (in chiave di C) la “Seconda Minore” (Db, 16/15); la “Seconda Maggiore” (D, 9/8); il “Tritono” (Gb, 45/32); la “Settima Minore” (Bd, 9/5); e la “Settima maggiore” (B, 15/8).

L’utilizzo di rapporti perfetti di consonanze armoniche all’interno dell’accordatura della giusta intonazione fa variare la dimensione dei semitoni tra le diverse coppie di note adiacenti all’interno dell’ottava, come mostrato di seguito. Di conseguenza, uno strumento a tastiera accordato per suonare in una tonalità (ad es. Do maggiore) può essere molto stonato in un’altra (ad es. Gb maggiore).

Al fine di ridurre al minimo questa limitazione, diversi sistemi di accordatura si sono evoluti nel corso dei secoli, ottenendo infine il sistema a dodici toni a temperamento equabile (12-TET) che, oggi, è stato ampiamente adottato. In generale, un sistema equabile è un sistema di accordatura musicale che approssima solo gli intervalli dividendo un’ottava in passi uguali. Pertanto, il rapporto tra le frequenze di qualsiasi coppia di note adiacente è lo stesso. Nel 12-TET, l’intervallo più piccolo è un 1/12 della larghezza di un’ottava, ed è chiamato semitono o semipassi. Normalizzando il rapporto di tutti i semitoni nell’ottava con un valore di:

C = 2^{1 / 12} \approx 1,05946, (4)

si può suonare egualmente intonato in qualsiasi tonalità (ad es. C maggiore, Gb maggiore, ecc.), ma ciò si ottiene a scapito di introdurre lievi errori in tutti i perfetti rapporti semplici delle consonanze armoniche, eccetto l’Unisono e l’Ottava. Un sistema 12-TET sarebbe stato inimmaginabile per i filosofi greci antichi perché coinvolgeva le radici di 2 che sono numeri irrazionali.

Per valutare quantitativamente quanto bene le coppie di toni specifiche sono accordate nel sistema 12-TET standard rispetto a quelle nel sistema 12-TJI, si presume che l’ottava (che è il rapporto 2/1) sia composta da 1.200 centesimi. Dato un numero reale x compreso tra 1 e 2, il suo valore del cent musicale (MC) è definito dall’equazione:

m C (x) = 1200 \log_{2} (x) . (5)

Quindi, per r = 1 (Unisono) il suo valore MC è 0 cent, mentre per r = 2 (Ottava) il suo valore MC è 1.200 cent. Muovendo in sequenza di n semitoni equabili da un tono di riferimento a un nuovo tono, il rapporto di frequenza tra i due toni è esattamente γⁿ = 2 ^n/12 in modo che il suo valore MC sia 100 × n. Se r è maggiore di 2, l’Eq. (5) può ancora essere usata e la corretta relazione di tono può essere stimata sottraendo un numero intero di 1.200 centesimi per ogni ottava. Ad esempio, MC = 1.200 + 100 × n. centesimi (x = 2^1+n/12) corrisponde all’ennesimo tono equabile nella seconda ottava; MC = 2.400 + 100 × n. cents (x = 2 ^2+n/12) corrisponde all’ennesimo tono equabile nella terza ottava; e così via.

Nel sistema idealizzato 12-TJI, che utilizza i rapporti numerici interi delle consonanze armoniche, i toni divergono leggermente da quelli 12-TET: ad esempio, una quinta perfetta, rapporto 3/2, ha 702 centesimi mentre il 7 (uguale -temperato) semitoni approssima una Quinta Perfetta con 2^7/12, che corrisponde a 700 centesimi; similmente una Terza maggiore è 5/4 e corrisponde a 386 cent, mentre 4 semitoni uguali corrispondono a 400 cent; e così via. Le differenze tra il 12-TJI e il 12-TET variano da 0 a 18 centesimi, con una media di 9 centesimi. La tabella 1 riassume e confronta i 12 toni nei sistemi 12-TET e 12-TJI.

La stessa notazione MC può essere utilizzata anche per valutare quanto siano vicini i rapporti dei parametri orbitali tra pianeti adiacenti a quelli delle coppie di toni musicali nei sistemi 12-TJI e 12-TET.

Di seguito utilizzeremo entrambi i sistemi di accordatura: il 12-TJI permette un’interpretazione diretta basata su rapporti armonici di numeri interi che richiama il formalismo di risonanza delle commensurabilità orbitali; il sistema 12-TET permette di scrivere le equazioni in un formalismo matematico più compatto.

Tentativi di base per trovare toni e consonanze musicali nei rapporti dei parametri orbitali di pianeti adiacenti

In Harmonices Mundi Kepler (1997) ha tentato di trovare corrispondenze tra i rapporti dei parametri orbitali planetari, l’armonia musicale e i solidi platonici. Qui, valutiamo e studiamo i rapporti del semiasse maggiore, i periodi siderali e le velocità orbitali medie dei pianeti vicini, inclusa la cintura degli asteroidi.

L’analisi mira a determinare se i toni musicali e, più specificamente, le consonanze esistono in una serie di variabili orbitali come si trova, ad esempio, nel Sistema Solare Trappista-1 o tra le lune di Giove. La tabella 2 riporta i dati astronomici qui utilizzati. I pianeti sono elencati dal più vicino al più lontano dal Sole come: Mercurio (Me); Venere (Ve); Terra (Ea); Marte (Ma); Asteroide (As); Giove (Ju); Saturno (Sa); Urano (Ur); e Nettuno (Ne).

TABELLA 2

TABELLA 2 . I semiassi maggiori a , periodo siderale T e velocità orbitali medie v dei pianeti del Sistema Solare, compresa la cintura degli asteroidi situata tra Marte e Giove. L’asteroide si riferisce al divario 5:2 della cintura di asteroidi di Kirkwood; (*) indica i valori teorici calcolati utilizzando l’ Eq. 1 . L’ultima colonna riporta i valori di a^2/3 discussi nel testo principale. (Dati da: https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/ ).

La distanza della cintura di asteroidi dal Sole (As) è stata fissata a 5:2 Kirkwood-gap (2,825 AU) come pianeta surrogato (sebbene negativo o mancante) perché, nella discussione seguente, una tale regione dovrebbe essere una specie di punto di “divergenza” o “riflessione” che separa i pianeti interni (o terrestri) da quelli esterni (o giganti gassosi) cfr. (Geddes e King-Hele, 1983 ; Lune e Morbidelli, 1995). Questo è lo spazio centrale della cintura degli asteroidi ed è collegato alla risonanza 5:2 tra Giove e Saturno. Tale distanza è molto vicina alla media geometrica tra Marte e Giove:

\sqrt{M a \times J u} \approx 2,816 AU

e al raggio orbitale medio del pianeta nano Cerere (circa 2,769 AU).

La Tabella 3 mostra i rapporti orbitali scelti, i loro valori in MC (usando l’ Eq. (5) ) e il loro tono più vicino (usando la Tabella 1 ) rispetto a entrambi i sistemi 12-TET e 12-TJI. Inoltre riportiamo tra parentesi se il tono più vicino è o meno una consonanza e l’errore-distanza in MC del rapporto planetario dal tono più vicino per entrambi i sistemi musicali. Qui manteniamo la pratica di Keplero di assegnare il tono di frequenza più alta al pianeta interno che si muove più velocemente. Assumiamo inoltre che quando la discrepanza tra il rapporto orbitale e il tono musicale è uguale o superiore a 25 cent, i due valori non sono compatibili (diciamo “non accordato”) e, quindi, tale rapporto orbitale non può essere interpretato come un tono musicale in questi sistemi di accordatura.

TABELLA 3

TABELLA 3 . Toni musicali nel semiasse maggiore, periodo orbitale, rapporti di velocità media dei pianeti adiacenti. Le colonne indicano: le coppie di pianeti adiacenti; il rapporto del parametro orbitale; il suo valore in centesimi musicali (MC), il simbolo (*) indica che il valore MC è ridotto di 1.200 centesimi; 12-TET è il tono più vicino (per il pianeta interno della coppia quando il pianeta esterno è accordato su C ) secondo l’esatto sistema 12-TET con la proprietà di consonanza Sì/No (Con); ET-MC _err è l’errore relativo; 12-TJI e JI-MC _err sono equivalenti ma relativi ai 12 toni del sistema 12-TJI con intonazione giusta. (Fare riferimento alla tabella 1 per i valori numerici dei toni).

La tabella 3 mostra che su 8 coppie planetarie adiacenti:

• usando il semiasse maggiore — 6 o 5 rapporti, rispettivamente in 12-TET e 12-TJI, sono stonati, e solo 3 sono vicini alle consonanze, di cui 2 sono stonati.

• usando il periodo orbitale — 3 rapporti sono stonati e solo 6 sono vicini alle consonanze, di cui 3 sono stonati.

• usando la velocità media — 3 o 4 rapporti non sono accordati e solo 7 sono vicini alle consonanze, di cui 3 o 4 rispettivamente non accordati.

Pertanto, i risultati non sono soddisfacenti poiché ciascuna di queste tre metriche non riesce a trovare correlazioni musicali accordate per diversi rapporti di coppia planetaria. Tuttavia, ci si potrebbe chiedere se un diverso insieme di misure orbitali possa fornire una migliore interpretazione musicale dei movimenti dei corpi del Sistema Solare.

A questo proposito, notiamo che la terza legge di Keplero dei moti planetari ( Eq. (1) ) indica l’esistenza di semplici relazioni tra i rapporti di misure planetarie, che sono caratterizzati da esponenti specifici come

dove la prima equazione deriva direttamente dalla terza legge di Keplero e la seconda approssimando il perimetro orbitale a 2 πa , dove a è il semiasse maggiore, e utilizzando la definizione di velocità orbitale media come v = 2 πa / T. Pertanto, i rapporti tra distanze medie, periodi orbitali e velocità medie sono correlati reciprocamente variando gli esponenti rispettivamente da 1, a 3/2, a -1/2.

Pertanto, nelle sezioni seguenti, cerchiamo esponenti k tali che i valori

poiché i pianeti adiacenti potrebbero essere meglio espressi in toni musicali e, più specificamente, in consonanze armoniche. Per fare ciò, sfruttiamo le equazioni proposte da Geddes e King-Hele (1983).

Le equazioni di Geddes-King-Hele

Geddes e King-Hele (1983) hanno notato che le orbite degli otto pianeti del Sistema Solare appaiono come se fossero “riflesse” attorno alla fascia degli asteroidi in modo che si trovino le seguenti simmetrie: Mercurio ↔Nettuno, Venere ↔Urano, Terra ↔ Saturno e Marte ↔Giove.

Più specificamente, questi autori hanno scoperto che i rapporti tra le distanze medie dal Sole dei pianeti (di seguito indicati dalle iniziali del nome del pianeta) potrebbero essere approssimati come potenze di un’unica costante che questi autori hanno indicato con

R = 2^{1 / 8} \approx 1,09051 . (8)

Quindi, sono state trovate le seguenti equazioni quasi esatte relative a pianeti contigui:

Le equazioni centrali riguardano Marte, una stima della distanza della cintura di asteroidi dal Sole e da Giove, dove la distanza della cintura di asteroidi (As) era originariamente fissata arbitrariamente a:

\sqrt{M a \times J u} \approx 2,816 AU

che è, tuttavia, molto vicino al divario di Kirkwood di 5:2 a 2,825 AU che preferiamo utilizzare nel seguito come punto di riflessione.

Geddes e King-Hele (1983) hanno notato che gli errori percentuali nelle otto equazioni elencate nel sistema 9 sono molto piccoli. Otteniamo rispettivamente: 1,9%, -2,2%, -1,2, 0,8, 0,8, 0,4, 0,2, 1,5%.

Le equazioni di cui sopra possono anche essere combinate in diversi modi. Ad esempio è possibile ricavare la distanza media dal Sole di tutti i pianeti in funzione solo di quella di Mercurio e delle potenze specifiche di r. È anche facile ottenere la seguente identità:

che hanno una precisione rispettivamente dell’1,5 e del 2,7%. Infine, è possibile ottenere le seguenti equazioni di Geddes-King-Hele che “rispecchiano” i pianeti rispetto alla fascia degli asteroidi:

Va notato che la costante scelta r è stata interpretata dagli autori come il rapporto di frequenza medio tra le note in un’ottava musicale, sebbene Abhyankar (1983) abbia criticato tale interpretazione. Tuttavia, come spiegato sopra, nella pratica musicale occidentale, l’ottava è divisa in 12 parti, non 8.

Una trasformazione non lineare delle equazioni di Geddes-King-Hele

Qui convertiamo le equazioni di Geddes-King-Hele in una forma compatibile con la scala musicale cromatica. Questo viene fatto alzando ciascun lato dell’Eq. 9 alla k = 2/3 di potenza. Infatti, come affermato in precedenza, il rapporto di frequenza tra eventuali semipassi adiacenti nel sistema 12-TET è γ = 2^1/12 ≈ 1,05 946 Eq. (4), che è uguale a r^2/3.

Abhyankar (1983) ha anche notato che un tale cambiamento di metrica renderebbe le equazioni di Geddes-King-Hele più compatibili con i rapporti di frequenza tra le note dei sistemi di accordatura proposti sopra. Tuttavia, ha concluso sommariamente ed erroneamente che non c’era “nulla di particolarmente musicale” nelle simmetrie speculari tra le distanze dei pianeti né che quelle simmetrie “ci stavano dicendo qualcosa sull’origine del Sistema Solare o sulla sua stabilità”. In effetti, non si rese conto delle proprietà matematiche e fisiche delle nuove equazioni che la nuova metrica implica. Divulghiamolo.

I nuovi termini planetari possono ora essere correlati matematicamente da potenze di γ , che è equivalente ai movimenti di semitoni nel sistema musicale 12-TET perché γ = r^2/3. Pertanto, ne consegue che:

dove Me′ = Me^2/3, Ve′ = Ve^2/3, Ea′ = Ea^2/3, Ma′ = Ma^2/3, As′ = As^2/3, Ju′ = Ju^2/3, Sa′ = Sa^2/3, Ur′ = Ur^2/3 e Ne′ = Ne^2/3.

Possiamo ora utilizzare il sistema 12-TET per esprimere i rapporti tra pianeti adiacenti in termini di semitoni musicali. Ad esempio, Ve ′ = γ⁷Me′ può essere riscritto come:

Ciò equivale a dire che il rapporto delle lunghezze del semiasse maggiore delle orbite di Venere e Marte elevate alla 2/3a potenza, cioè Ve′ / Me′, è uguale al rapporto delle frequenze di due altezze che sono 7 semipassi l’uno dall’altro, che corrisponde a una quinta perfetta (un rapporto di 3/2).

L’equazione (12) può essere riscritta come:

che esprime rapporti di ottava.

Abhyankar (1983) è stato in grado di derivare l’Eq. (15), ma non si rendeva conto che implica una serie di relazioni musicali di scala. Infatti: Ju′ / Ma′ ≈ γ¹⁴ = 14 semitoni ≈ 2 Quinte perfette = (3 / 2) × (3 / 2) = 2,25 ; Sa′ / Ea′ vi aggiunge un’ottava, raddoppiando il rapporto a 4,5; similmente, Ur′ / Ve′ lo raddoppia a 9; e Ne′ / Me′ lo raddoppia a 18. Di conseguenza, l’Eq. (15) può essere riscritta anche nella seguente forma compatta:

che rivela, sia una struttura speculare che scalare rispetto alla cintura degli asteroidi. Notare la sequenza delle potenze di 2 (1 = 2⁰, 2 = 2¹ , 4 = 2² e 8 = 2³ ) relative alle coppie planetarie che si avvicinano alla cintura degli asteroidi.

In funzione del semiasse maggiore a, del periodo T e della velocità orbitale media v, l’Eq. (16) corrisponde a:

dove l’Eq. (6) sono stati utilizzati. Utilizzando la tabella 2, i valori esatti dei quattro rapporti moltiplicati per potenze crescenti di 2 sono rispettivamente: 18,20, 17,80, 18,05 e 18,14, utilizzando gli assi semi-orbitali maggiori; 18,20, 17,79, 17,99 e 18,14, rispettivamente, utilizzando i periodi; e 17,95, 17,79, 17,90 e 18,08, rispettivamente, usando le velocità orbitali medie. Quindi, l’eq. (16) [o Eq (17) – (19)] descrive le orbite dei pianeti del Sistema Solare entro circa l’1 %errore (o con una precisione del 99%), ed esprime elegantemente la sua struttura di scala e simmetria speculare rispetto alla cintura degli asteroidi. Più specificamente, suggerisce che le orbite interne ed esterne del Sistema Solare sono organizzate in una semplice struttura di scala.

Utilizzando le equazioni per le distanze planetarie elevate alla 2/3a potenza ed esprimendo i risultati in termini di semitoni, valutiamo ora quanto bene i rapporti planetari possano essere assegnati ai toni musicali.

La tabella 4 riporta i rapporti del semiasse maggiore di pianeti adiacenti elevati al 2/3 di potenza utilizzando i dati orbitali elencati nella tabella 2 e li confronta con i loro toni musicali più vicini utilizzando sia i valori 12-TET che 12-TJI (espressi in centesimi musicali, usando l’ Eq. (5) ). Abbiamo anche tabulato i relativi centesimi musicali dal tono più vicino. La figura 3 mostra i risultati utilizzando entrambi i sistemi di toni.

TABELLA 4

TABELLA 4. Numero di semitoni (NHS), toni musicali e consonanze in entrambi i valori esatti 12-TET (ET) e 12-TJI (JI) e in centesimi musicali (MC), rispetto ai rapporti del semiasse maggiore dei pianeti adiacenti elevato ai 2/3 di potenza, con i relativi centesimi musicali (MC_err). (Fare riferimento alla tabella 1 per i valori numerici dei toni).

FIGURA 3

FIGURA 3. (A): I cerchi neri indicano i rapporti di distanza elevati ai 2/3 di potenza dei pianeti adiacenti sia nel 12-TET di uguale temperamento che nel 12-TJI giustamente accordato (nella tonalità di C espresso come semitoni o MC/100 ): Tabella 4. Le barre rosse indicano le consonanze, mentre quelle rosa le dissonanze. La larghezza di ogni barra è di 50 centesimi. (B): la notazione musicale fornisce la nota per il pianeta interno della coppia quando il pianeta esterno è accordato sul Do centrale. (Fare riferimento alla tabella 1 per i valori numerici dei toni).

Utilizzando il sistema 12-TET si osserva una divergenza assoluta tra 2 e 26 centesimi, con una media di 13 centesimi; mentre nell’accordatura 12-TJI, la divergenza assoluta è compresa tra 3 e 19 centesimi, con una media di 11 centesimi. Questi risultati suggeriscono che la misura planetaria scelta tra coppie di pianeti adiacenti del Sistema Solare può essere ben approssimata dai toni della tradizione musicale occidentale.

Come affermato in precedenza, dei 12 possibili toni all’interno dell’ottava, 7 sono considerati consonanze ( Stephenson, 1974 ). Questo accade quando il valore esatto della nota può essere ben approssimato da un rapporto n / m dove i numeri interi n ed m sono piccoli e membri dell’insieme: 3, 5, e potenze di 2. I rapporti di consonanza, nella tonalità di C, sono: Unisono o Octave ( C ), 1/1 o 2/1; Terza minore (Eb), 6/5; Terza maggiore (E), 5/4; Quarto perfetto ( FA ), 4/3; Quinta perfetta ( Sol ), 3/2; Sesta minore (Ab), 8/5; Sesta maggiore (A), 5/3. Come riassunto nella Tabella 5, Ve′ / Me′ , As′ / Ma′ , Ju′ / As′ e Sa′ / Ju′ sono accordati su una quinta perfetta, Ma / Ea′ e Ne′ / Ur′ sono accordati ad una Quarta Perfetta, Ea′ / Ve′ è accordato ad una Terza Maggiore, e Ur′ / Sa′ ad una Sesta Minore.

TABELLA 5

TABELLA 5. Confronto tra i 12 toni e i rapporti del semiasse maggiore tra i pianeti adiacenti elevati alla potenza k = 2/3 dedotta dalle equazioni corrette della distanza planetaria di Geddes-King-Hele ( Eq. 13 ). Il tono è quello del pianeta interno della coppia quando il pianeta esterno è sintonizzato su C. (Fare riferimento alla Tabella 1 per i valori numerici dei toni).

Pertanto, non solo tutti questi rapporti planetari sembrano sufficientemente ben accordati per essere membri dell’ottava della musica tradizionale, ma tutti corrispondono anche ai rapporti di consonanza musicale secondo entrambi i sistemi 12-TET e 12-TJI. Questo risultato suggerisce che, prese come un insieme, le orbite dei pianeti presentano una struttura specifica ben sintonizzata e armonizzata.

Significato statistico e robustezza dell’esponente k = 2/3

Verifichiamo ora se lo stretto adattamento tra rapporti musicali idealizzati e dati planetari utilizzando l’esponente k = 2/3 è casuale. Pertanto, abbiamo ripetuto i calcoli precedenti variando il valore di k tra 0,3 e 1 in incrementi di 0,001.

La figura 4 traccia l’errore medio, massimo e minimo (misurato in MC) tra gli otto rapporti del semiasse maggiore del pianeta adiacenti elevati alla potenza di k e il più vicino dei dodici toni musicali elencati nella tabella 1 in funzione dell’esponente k. La Figura 4A utilizza i toni del sistema 12-TET mentre la Figura 4B utilizza quelli del sistema 12-TJI. L’analisi illustrata in Figura 5 utilizza solo le 7 consonanze e ignora gli altri 5 toni. La posizione del valore per k = 2/3 è evidenziata in entrambe le figure.

FIGURA 4

FIGURA 4. L’esponente k rispetto all’errore medio, massimo e minimo misurato in centesimi musicali dai rapporti di distanza del pianeta adiacente elevato all’esponente k al tono musicale più vicino per: (A) il sistema 12-TET di temperamento equabile; (B) il 12-TJI giustamente accordato. Viene evidenziato il valore per k = 2/3 ≈ 0,667.

FIGURA 5

FIGURA 5. Esponente k rispetto all’errore medio, massimo e minimo misurato in centesimi musicali dai rapporti di distanza del pianeta adiacente elevati all’esponente k alla consonanza musicale più vicina per: (A) sistema 12-TET; (B) il sistema 12-TJI. Viene evidenziato il valore per k = 2/3 ≈ 0,667.

Le Figure 4 , 5 mostrano che k ≈ 2/3 corrisponde al minimo assoluto nell’errore medio (curva verde) tra il nostro modello proposto ed entrambi i sistemi di accordatura musicale, il che suggerisce che la misura scelta potrebbe essere fisicamente significativa. Per quanto riguarda l’errore massimo (curva rossa), k ≈ 2/3 corrisponde in figura 4A al penultimo minimo, ed al minimo assoluto in figura 4B e in entrambe le figure 5A,B , che si riferiscono alle sole consonanze. Il risultato suggerisce che l’esponente k = 2/3 ottimizza le metriche espresse dall’Eq. 7 per riprodurre i semplici rapporti che si trovano nelle consonanze musicali.

Per verificare ulteriormente la rilevanza statistica del nostro risultato, valutiamo ora la probabilità di ottenere gli 8 rapporti planetari vicini alle consonanze musicali contro l’ipotesi nulla che siano distribuiti casualmente. Sopra abbiamo scoperto che i dati planetari producono i rapporti semplici delle consonanze armoniche con una precisione media di circa 11–13 centesimi fino a un massimo di 26 centesimi in un solo caso rispetto al sistema 12-TET. Il range in MC dei rapporti di distanza planetaria elevati al 2/3 di potenza è di 428 cent: da 374 cent (vicino a una Terza Maggiore per Ea’/Ve’) a 802 cent (vicino a una Sesta Minore per Ur’/Sa’ ). A ciascuna estremità di questo intervallo, aggiungiamo il valore di errore associato, per ottenere un intervallo di banda totale di 475 centesimi da 350 a 825 centesimi. All’interno di questo intervallo si trovano quattro rapporti di consonanza idealizzati: la Terza Maggiore, la Quarta Perfetta, la Quinta Perfetta, e la Sesta Minore. Si può presumere che ciascuno di questi quattro toni abbia un intervallo di errore massimo di ±25 centesimi. Pertanto, il loro intervallo di errore totale può contenere al massimo 200 centesimi dell’intervallo totale disponibile di 475 centesimi, ovvero 50 centesimi per ciascuna delle quattro consonanze. Pertanto, la probabilità statistica che gli otto rapporti planetari si verifichino casualmente con questa vicinanza alle quattro consonanze selezionate è p = (200/475)⁸ < 0,001 = 0,1%. Pertanto, è molto improbabile che il nostro risultato avvenga per caso.

Confronto con il modello di risonanza dell’orbita armonica

Aschwanden (2018) ha studiato la regolarità degli schemi distanziati delle distanze dei pianeti del Sistema Solare e ha mostrato che i modelli di spaziatura logaritmica, come sia la legge di Titus-Bode che la sua forma generalizzata, si comportano male rispetto a un modello di risonanza armonica basato su fattori di scala quantizzati. Più specificamente, l’autore ha mostrato che le distanze del pianeta R _i dal Sole e i loro periodi orbitali T _i (dove i = 1 per Mercurio, i = 2 per Venere, ecc.) sono legati a leggi di scala del tipo:

dove l’esponente 2/3 deriva dall’Eq. (1) , e i rapporti numerici interi H _{i +1} / H _i danno alle seguenti equazioni planetarie che collegano i semiassi maggiori di coppie di pianeti vicini:

L’eq. (21) esprimono un modello planetario del Sistema Solare alternativo a quello dell’Eq. (13). I fattori di scala sono diversi. Pertanto, è importante determinare quale dei due modelli planetari si comporta meglio nel prevedere la dimensione delle orbite del Sistema Solare.

Per fare ciò, osserviamo che dato un semiasse maggiore a per un pianeta (Tabella 2), gli insiemi di equazioni 13 e 21 possono essere usati per prevedere la posizione degli altri otto pianeti rispetto a quello scelto. Pertanto, per ciascuno dei due modelli, possiamo ottenere nove diversi insiemi di previsioni a partire da ciascun pianeta. Infine, i due gruppi di previsione vengono confrontati statisticamente.

Questo viene fatto nella Figura 6 che mostra l’errore relativo per ogni pianeta dato dall’espressione:

FIGURA 6

FIGURA 6. Errori relativi riguardanti le previsioni delle lunghezze del semiasse maggiore dei pianeti del sistema solare secondo: (A) il modello basato su Geddes–King-Hele 12-TET ( Eq. 13 ) qui proposto; (B) il modello di risonanza dell’orbita armonica di Aschwanden (2018) ( Eq. 21 ).

La figura mostra che il modello basato su Geddes-King-Hele 12-TET (Eq. (13)) ha prestazioni significativamente migliori rispetto al modello di risonanza dell’orbita armonica di Aschwanden (2018) (Eq. (21)). Ciò è dimostrato dalla dispersione inferiore e dal trend bias negli insiemi di errori relativi prodotti dal primo modello rispetto al secondo. La Tabella 6 riporta le previsioni medie per ciascun pianeta relative ai nove insiemi per ciascun modello con i relativi errori rispetto alle osservazioni. Si è riscontrato che in media il modello Geddes-King-Hele 12-TET prevede le lunghezze corrette del semiasse maggiore con un errore medio dello 0,8%, mentre il modello di risonanza dell’orbita armonica ha un errore medio del 2,5%. Quest’ultimo presenta anche un trend bias perché le lunghezze del semiasse maggiore di Mercurio, Venere e Terra sono sottostimate di circa il 4% mentre quelle di Urano e Nettuno sono sovrastimate di circa il 5%.

TABELLA 6

TABELLA 6. Previsioni medie ed errori relativi nei semiassi maggiori dei pianeti del Sistema Solare rispetto a: (A) il modello basato su Geddes–King-Hele 12-TET ( Eq. 13 ) qui proposto; (B) il modello di risonanza dell’orbita armonica (HOR) di Aschwanden (2018) ( Eq. 21 ).

La scarsa prestazione del modello di risonanza dell’orbita armonica era in qualche modo prevista dai risultati discussi nella sezione 3 perché approssima i rapporti dei periodi orbitali elencati nella tabella 3 con le consonanze (entro due ottave), che, tuttavia, non sono sempre le più vicine dei dodici toni ai rapporti del periodo. Anche se il modello di risonanza dell’orbita armonica avrebbe adottato i rapporti più accurati elencati nella Tabella 3, non sarebbe stato comunque d’accordo in modo inadeguato con i dati, come discusso nella Sezione 3.

Pronostico delle lacune di Kirkwood della cintura di asteroidi

Come test finale, estendiamo il modello Geddes-King-Hele 12-TET per valutarne la capacità di previsione. Ad esempio, le potenze crescenti di 2 presenti nell’Eq. (17) man mano che le coppie di pianeti si avvicinano al punto specchio dato dalla cintura di asteroidi, suggeriscono l’esistenza di un passo finale caratterizzato dal fattore moltiplicativo 2 ⁴ = 16, che è il valore più alto possibile compatibile con la costante 18 che soddisfa la condizione a _{i +1} / a _i > 1.

Questa estensione suggerisce l’esistenza di un’ultima coppia interna di orbite vicine (semiasse maggiore a₁ < a₂) che sono speculari rispetto alla cintura degli asteroidi e che soddisfano la seguente condizione:

Poiché le due orbite sarebbero molto vicine tra loro, dovrebbero caratterizzare la geometria della cintura stessa degli asteroidi. Si noti che il rapporto 18/16 = 9/8 corrisponde all’epogdoon pitagorico ( Figura 2 ).

Infatti, la fascia principale dell’asteroide è caratterizzata da cinque lacune primarie alle risonanze di moto medio 4:1, 3:1, 5:2, 7:3, 2:1 tra gli asteroidi e Giove ( Lune e Morbidelli, 1995 ; Moons et al., 1998 ). La regione centrale è caratterizzata dai tre gap centrali rispettivamente a_3:1 = 2,502 AU, a_5:2 = 2,825 AU, e a_7:3 = 2,958 AU. Cerere è quasi nel mezzo a_c = 2,769 AU. Assumendo il punto speculare a Cerere o a a_5:2 (che è quello che abbiamo adottato sopra per l’intero Sistema Solare), abbiamo la possibile coppia speculare data da a_3:1 ↔ a_7:3. Applicando l’Eq. (23) , otteniamo:

dove abbiamo usato le equazioni (1), (17), insieme al periodo di Giove (11,86 anni) per ottenere a_3:1 e a_7:3. Pertanto, la previsione dell’Eq. (23) ha un errore dello 0,6% ed è legato alle risonanze di Giove.

È interessante notare che se i rapporti As / Ma e Ju / As (dove sopra abbiamo scelto As = a_5:2 come punto specchio e posizione della cintura di asteroidi) sono valutati come a_3:1 / Ma e Ju / a_7:3, otterremmo rispettivamente 572 e 652 MC, che non corrispondono a nessun tono e si verificano vicino a 600 MC che corrisponde a un Tritono (una relazione di tono dissonante). Forse, queste relazioni spiegano perché a_3:1 e a_7:3 sono lacune nonostante la loro risonanza orbitale con Giove e, in generale, perché la fascia degli asteroidi occupa una regione gravitazionale instabile.

In conclusione, l’Eq. (17) con la sua estensione matematica Eq. (23) sembra caratterizzare bene la regolarità degli schemi distanziati delle distanze dei pianeti del Sistema Solare inclusa la struttura principale interna della fascia di asteroidi.

Asteroidi vulcanoidi contro oggetti transnettuniani

Equazione (17) più Eq. (23) dovrebbe completare il nostro modello, che è quindi fisicamente completamente vincolato. In effetti, nessun’altra estensione dell’equazione sarebbe possibile poiché richiederebbe un pianeta terrestre aggiuntivo, ma sconosciuto tra il Sole e Mercurio, il mitico pianeta Vulcano che Urbain Le Verrier suggerì negli anni ’50 dell’Ottocento per spiegare le anomalie dell’orbita di Mercurio (problema poi risolto da Albert Einstein) o alcuni asteroidi vulcanoidi ancora ipotizzati (Evans e Tabachnik, 1999) — e un altro pianeta tra Nettuno e lo shock di terminazione o il confine dell’eliopausa (tra 30 e 100 AU dal Sole) dove si trovano solo piccoli oggetti transnettuniani come Plutone, Eris e altre comete, che non sono classificati come pianeti regolari del Sistema solare. Inoltre, non è possibile estendere il nostro modello oltre le lacune del limite della cintura principale dell’asteroide espresso dall’Eq. (23).

Questa proprietà differenzia notevolmente il nostro modello, ad esempio, dalla legge di Titius-Bode il cui limite superiore (e anche il limite inferiore nel caso di Mercurio) non è vincolato e, quindi, fornisce anche domande di robustezza statistica.

Al contrario, la nostra equazione è completamente vincolata. Pertanto, la robustezza statistica delle sue previsioni non può essere facilmente messa in discussione, e stabilisce che è possibile valutare le orbite planetarie dei pianeti esterni da quelle dei pianeti interni fino agli spazi vuoti della cintura di asteroidi con un unico ridimensionamento e specchio -come un’equazione (rappresentata graficamente in Figura 7) entro un errore medio dell’1% o, in alternativa, con una precisione del 99%.

FIGURA 7

FIGURA 7. (A) Rappresentazione grafica dell’Eq. 25 che esprime il ridimensionamento e le simmetrie speculari tra le lunghezze del semiasse maggiore degli otto pianeti del sistema solare, inclusa la regione centrale della fascia degli asteroidi, secondo il modello 12-TET delle equazioni di Geddes-King-Hele (99 % di precisione). (B) Rappresentazione grafica del ridimensionamento ipotizzato e dell’organizzazione planetaria speculare simmetrica del sistema solare secondo il modello esteso (Eq. 26). Le sequenze di rapporti si basano sull’epogdoon pitagorico ( il rapporto di intervallo 9/8 = 18/16 = 72/64) e sulla sua aggiunta con un massimo di sei ottave.

In ogni caso, proviamo ad estendere ulteriormente il modello proposto; un’operazione che può essere eseguita raddoppiando e raddoppiando ancora l’ Eq. (17) per ogni coppia di corpi simmetrici aggiunti che, nel caso del Sistema Solare, possono rappresentare solo genericamente bande astronomiche, in quanto mancano veri e propri pianeti.

Assumendo Plutone ( a _P = 39,237 au), che potrebbe rappresentare la cintura di Kuiper, e raddoppiando l’ Eq. 17 per ospitare un’altra coppia di pianeti, il semiasse maggiore del suo corpo speculare, il mitico pianeta Vulcano, dovrebbe essere a V _≈ 39,237/(18*2) ^3/2 = 0,182 au tra il Sole e Mercurio. Rispetto ai loro pianeti vicini, rispettivamente Nettuno e Mercurio, abbiamo: ${(a_{P} / N e)}^{2 / 3} = 1.195 \approx 6 / 5$

{(a_{P} / N e)}^{2 / 3} = 1.195 \approx 6 / 5

(Terza Minore) e: ${(M e / a_{V})}^{2 / 3} = 1.65 \approx 5 / 3$

{(M e / a_{V})}^{2 / 3} = 1.65 \approx 5 / 3

(Sesta maggiore), che sono entrambe consonanze.

Assumendo Eris ( a _E = 67,9 au), che potrebbe rappresentare il Disco Diffuso ([”Scattered” Ndt] una regione scarsamente popolata al confine del Sistema Solare), e raddoppiando ancora l’ Eq. 17 per ospitare una seconda coppia di pianeti, il suo disco sparso speculare dovrebbe avere a_Sz ≈ 67,9/(18*4) ^3/2 = 0,111 au. Rispetto ai loro pianeti vicini, rispettivamente Plutone e Vulcano, abbiamo: ${(a_{E} / a_{P})}^{2 / 3} = 1.44 \approx 45 / 32$

{(a_{E} / a_{P})}^{2 / 3} = 1,44 \approx 45 / 32

(Tritono) e: ${(a_{V} / a_{S z})}^{2 / 3} = 1.39 \approx 45 / 32$

{(a_{V} / a_{S z})}^{2 / 3} = 1,39 \approx 45 / 32

(Tritono), che sono entrambi toni dissonanti, come suggerirebbero regioni sparse.

Oltre il Disco Diffuso c’è solo la nuvola di Oort.

Pertanto, la cintura di Kuiper e il Disco Diffuso potrebbero essere speculari rispetto alle ipotizzate cinture di asteroidi vulcanoidi e spazi vuoti, che potrebbero teoricamente esistere all’interno dell’orbita di Mercurio a distanze di 0,06–0,21 au dal Sole (Evans e Tabachnik, 1999).

Con le ultime considerazioni, abbiamo completato la descrizione del Sistema Solare con un’unica equazione dello specchio di scala: Eq. (17) più l’eq. (23), più le sue eventuali estensioni ottenute raddoppiandolo per ogni coppia di corpi speculari o di bande gravitazionali addizionali.

Discussione

La dinamica dei corpi celesti segue le leggi della gravitazione integrate da alcuni processi dissipativi. Il problema è che, anche nel caso più semplice di tre corpi che interagiscono gravitazionalmente, non esiste una soluzione in forma chiusa per questo caso. Tuttavia, evidenze empiriche suggeriscono che i sistemi orbitali possono auto-organizzarsi in strutture di sincronizzazione alternative che non sono ancora completamente comprese.

Nel caso specifico del Sistema Solare, abbiamo scoperto che la riscrittura delle equazioni di Geddes-King-Hele nella nuova forma proposta produce un’espressione molto compatta ed elegante: l’Eq. (16) o, equivalentemente, Eqs (17) – (19) — che sembra rivelare la struttura di auto-organizzazione gravitazionale nascosta del nostro sistema planetario. Quando elevate alla potenza 2/3 (una trasformazione non lineare), le orbite dei pianeti mostrano un’organizzazione razionale che non è evidente nei parametri orbitali non trasformati. Il fatto che l’esponente 2/3 minimizzi le deviazioni e le equazioni planetarie siano più accurate dei modelli di risonanza armonica alternativi, supporta la robustezza del nostro risultato.

La Figura 7A rappresenta graficamente il ridimensionamento orbitale e le simmetrie speculari del Sistema Solare nella seguente equazione compatta:

che collega insieme gli otto pianeti del Sistema Solare più la cintura di asteroidi evidenziando le simmetrie di ridimensionamento e speculare tra le loro lunghezze del semiasse maggiore secondo il modello 12-TET delle equazioni di Geddes-King-Hele. L’equazione di cui sopra ha un chiaro fascino estetico e i suoi cinque rapporti hanno una precisione del 99%.

Equazione (25) può anche essere ulteriormente estesa raddoppiandolo per ogni coppia di corpi speculari aggiuntivi. Le prime due possibili estensioni sembrano avere un significato fisico perché corrisponderebbero alle fasce degli ipotizzati asteroidi vulcanoidi rispetto agli oggetti transnettuniani e ai limiti interni ed esterni del disco planetario del Sistema Solare. Secondo questo modello, il disco planetario del Sistema Solare sarebbe vincolato tra due regioni dissonanti, cioè una zona divergente o diffusa molto vicina al Sole (Sz) a circa 0,1 au, e una regione speculare ugualmente divergente corrispondente al Disco Diffuso (rappresentato da Eris) e si estende fino a circa 100 au dal Sole. La cintura degli asteroidi, rappresentata da Cerere, a circa 2,0–3,5 au divide il disco planetario in una regione interna ed esterna; questa cintura sarebbe anche una zona dissonante-divergente. Quindi, la regione interna divisa in cinque anelli corrisponderebbe alle orbite di Marte, Terra, Venere, Mercurio e, infine, all’ipotetica cintura Vulcanoide vicina al Sole. Allo stesso modo, la regione esterna divisa in cinque anelli corrisponderebbe alle orbite di Giove, Saturno, Urano, Nettuno e, infine, la fascia di Kuiper (rappresentata da Plutone). In questo modo, il disco planetario del Sistema Solare sarebbe completamente descritto dalla seguente equazione di scala speculare estesa:

che è mostrato nella Figura 7B. Le due sequenze suggeriscono che le simmetrie orbitali dello specchio di scala del Sistema Solare sono espresse dall’epogdoon pitagorico (il rapporto tonale 9/8 = 18/16 = 72/64) e dalla sua aggiunta con una o più ottave.

Entrambe le equazioni (25) e (26) possono essere riscritte come funzioni dei periodi orbitali o delle velocità medie sostituendo l’esponente 2/3 con 4/9 e 4/3 come nelle equazioni (18) e (19) rispettivamente. Questa trasformazione non ci permette di interpretare i quozienti come semplici rapporti di periodi orbitali. Né ci consente di farlo per le relazioni di frequenza orbitale, che sono semplicemente le inverse moltiplicative di quelle derivate da periodi orbitali. La comprensione tradizionale di una struttura di auto-organizzazione gravitazionale implica una qualche forma di relazione lineare tra le frequenze orbitali ed esclude l’applicazione di trasformazioni non lineari. Tuttavia, le equazioni (25) e (26) esprimono relazioni di numeri razionali puri poiché tutti i quozienti sono adimensionali, il che è una forte indicazione di qualche tipo di fenomeno di sincronizzazione (ancora sconosciuto) che può emergere dalla dinamica planetaria prodotta dall’aggiunta di più corpi gravitazionali e interazioni dissipative (forze di marea, pressione di radiazione, attrito, ecc.,). Rimane la domanda su come una trasformazione non lineare dei periodi orbitali formi questi rapporti razionali, e questo rappresenta una sfida da un punto di vista dinamico che può essere affrontata nella ricerca futura. Tuttavia, la robustezza dei risultati è impressionante. Una volta che l’esponente della trasformazione non lineare è ottimizzato a k = 2/3 (come illustrato nelle Figure 4 e 5), i rapporti orbitali trasformati tra coppie planetarie vicine sono compatibili non solo con le relazioni di tono dei tradizionali sistemi di accordatura musicale 12-TJI e 12-TET, ma anche specificamente con le loro consonanze. Il fatto che l’errore sia leggermente inferiore per l’intonazione giusta (12-TJI) rispetto all’accordatura equabile (12-TET) può suggerire che il Sistema Solare sia per lo più caratterizzato da rapporti superparticolari, ovvero di 3/2, 4/3, 5/4 e 6/5 (incluso Plutone) usati in precedenza. Inoltre, le equazioni (25) e (26) si basano sul rapporto superparticolare 9/8 (secondo maggiore) moltiplicato per potenze di 2. Il rapporto da 9 a 8 era noto nella teoria musicale pitagorica come epogdoon, che corrisponde al tono intero e deriva dalle consonanze pitagoriche. Estendendo l’equazione di scala speculare ( Eq. (26) ) di due anelli aggiuntivi e notando i rapporti planetari contigui prodotti, vediamo che tutte le relazioni di tono musicale dalla Seconda Maggiore alla Sesta Maggiore sono rappresentate in questo modello.

L’interpretazione fisica del risultato si basa ancora su modelli planetari preliminari, analogie e speculazioni.

Ad esempio, Pakter e Levin (2018) hanno proposto un modello planetario suggerendo che, in presenza di vincoli specifici e perturbazioni che non conservano l’energia, un sistema planetario potrebbe raggiungere uno stato periodico auto-organizzato da condizioni iniziali arbitrarie. Il loro modello, tuttavia, era semplicistico e non poteva simulare adeguatamente il nostro Sistema Solare. Inoltre, nessuna simulazione che utilizzava più di 6 pianeti identici era stabile.

Il nostro modello planetario empirico proposto del Sistema Solare è piuttosto peculiare perché suggerisce un meccanismo di auto-organizzazione planetaria che non coinvolge direttamente i tradizionali modelli di commensurabilità planetaria basati su rapporti interi di periodi orbitali, come solitamente proposto in letteratura cfr. (Aschwanden, 2018 ; Peale, 1976). Infatti, la metrica a^2/3 non può essere interpretata direttamente utilizzando la terza legge di Keplero, l’Eq. (1) , perché quest’ultimo collega i periodi orbitali ad a^3/2metrico. Inoltre, come dimostrato nella sezione 3, la metrica del periodo orbitale non fornisce rapporti tra pianeti contigui del nostro Sistema Solare che potrebbero essere espressi da consonanze. Pertanto, il nostro Sistema Solare non è auto-organizzato gravitazionalmente come, ad esempio, il Sistema Solare Trappista-1.

Eq. (13) potrebbe suggerire un processo di auto-organizzazione orbitale alternativo che potrebbe coinvolgere accelerazioni di gravità e rapporti spazio e volume invece di quelli del periodo orbitale. Ad esempio, supponendo che le orbite siano circolari (in modo che il semiasse maggiore coincida con il raggio orbitale, a ₁ = R ₁ e a ₂ = R ₂ ), l’ Eq. (7) con k = 2/3 può essere riscritta come:

dove m₁ e m₂ sono le masse dei due pianeti adiacenti, e F₁ e F₂ sono le forze gravitazionali che li attraggono verso il Sole (F = GM _⊙m / R²); per ogni coppia di pianeti adiacenti, le frequenze f assumono uno dei valori 2^{n /12} con n = 4, 5, 7 e 8, oppure, in alternativa, f = 5/4, 4/3, 3/2 e 8/5. Quindi, il nostro risultato e l’ Eq. (27) indicano che la radice cubica del rapporto tra l’accelerazione orbitale centripeta di pianeti adiacenti del Sistema Solare può essere interpretata come toni musicali e, più precisamente, come consonanze.

Una potenza 2/3 di un raggio orbitale potrebbe anche essere interpretata come una trasformazione geometrica di un ellissoide di raggio R_e e altezza fissa H in una sfera di uguale volume di raggio R_s secondo l’equazione:

$R_{s} = \sqrt[3]{H R^{2}}$

R_{S} = \sqrt[3]{h R^{2}}

Infatti il Sistema Solare è costituito da un disco planetario e la sua geometria potrebbe essere approssimata da un ellissoide di una data altezza H. Pertanto, ogni orbita planetaria potrebbe essere associata ad un ellissoide di raggio orbitale R e altezza H costante, e potrebbe essere trasformata in una sfera di raggio:

$R^{'} = \sqrt[3]{h R^{2}}$

R^{'} = \sqrt[3]{h R^{2}}

I nostri risultati implicherebbero quindi che i rapporti dei raggi orbitali trasformati sfericamente di pianeti adiacenti del Sistema Solare esprimono consonanze musicali come:

La tabella 1 riporta i valori R′ per ciascun pianeta.

Osserviamo anche che in fisica le equazioni in cui compaiono le frequenze del cubo non sono frequenti, ma una di queste è la legge di Planck (o la sua approssimazione di Wien) che descrive la densità spettrale della radiazione elettromagnetica emessa da un corpo nero in equilibrio termico a una data temperatura T (Planck, 1914). Infine, è interessante notare che l’operazione necessaria per ottenere il risultato di cui sopra dalle distanze planetarie – elevandole alla potenza di 2/3 – è in qualche modo speculare all’operazione che mette in relazione le distanze planetarie con i periodi orbitali dalla terza legge di Keplero, elevandole a la potenza 3/2 (Eq. (1)).

Se le precedenti analogie o alternative possano produrre una relazione fisica tra le orbite relativamente stabili del Sistema Solare e la distribuzione dell’energia gravitazionale in esso legata ad una potenza di 2/3 dei raggi orbitali dei pianeti, è lasciato a future indagini.

Conclusione

Una caratteristica interessante del Sistema Solare è la sua architettura a riflessione speculare che è composta da quattro pianeti terrestri interni (Mercurio, Venere, Terra e Marte) e quattro pianeti giganti gassosi esterni (Giove, Saturno, Urano e Nettuno) divisi da la cintura degli asteroidi. Nessun altro sistema esoplanetario simile al nostro è stato ancora scoperto.

Abbiamo mostrato che le equazioni di Geddes-King-Hele per simmetrie speculari tra le distanze dei pianeti, quando elevate alla 2/3a potenza, esprimono valori molto vicini ai rapporti semplici che si trovano nelle consonanze armoniche del 12-TET e sistemi di sintonizzazione 12-TJI utilizzati nella musica classica e occidentale. Questo risultato contraddice la breve critica di Abhyankar (1983) secondo cui “non c’è niente di particolarmente musicale” in tali equazioni. Naturalmente, qui, intendiamo che la parola “musicale” si riferisca alla presenza dei rapporti che si trovano nei sistemi di accordatura classica che hanno proprietà matematiche specifiche.

Geddes e King-Hele hanno notato le simmetrie speculari ma non il ridimensionamento che abbiamo evidenziato nelle nostre equazioni. Questo risultato contraddice ulteriormente l’affermazione di Abhyankar (1983) secondo cui tali equazioni non possono dirci nulla “sull’origine del Sistema Solare o sulla sua stabilità”. Infatti, sembra che il nostro Sistema Solare possa essere interpretato dall’Eq. (25) (raffigurato in Figura 7) o Eq. (26) che mette in relazione i rapporti delle coppie di pianeti rispecchiati dalla cintura di asteroidi come una serie ponderata da potenze crescenti di 2 dell’epogdoon tono pitagorico (il rapporto 9/8).

I raggi orbitali dei pianeti interni possono essere previsti da quelli di quelli esterni, e viceversa, con una precisione circa tre volte superiore a quella del modello di risonanza dell’orbita armonica recentemente proposto da Aschwanden (2018). In effetti, mostra solo un errore medio dello 0,8% (ovvero un’accuratezza maggiore del 99%) contro un errore del 2,5% del metodo alternativo. Inoltre, la probabilità di trovare solo consonanze musicali tra tali rapporti adiacenti ha un valore p < 0.1 %, il che rende improbabile che si tratti di un risultato casuale. Inoltre, il nostro modello potrebbe essere esteso per prevedere la struttura del gap interno della cintura di asteroidi e gli oggetti transnettuniani.

Inoltre, l’Eq. (23) [o Eq. (24) ] mostrano che il coefficiente 18 nell’Eq. (16) è direttamente collegata alle risonanze 3:1 e 7:3 con Giove che, in virtù della sua grande massa, ha probabilmente giocato un ruolo decisivo nell’architettura orbitale del Sistema Solare. Questo ruolo principale sembra confermato nella Figura 6A dove le previsioni planetarie dell’Eq. (13) basati su Giove (curva blu con cerchi) sono ben bilanciati tra le altre serie. Le due risonanze citate caratterizzano le principali lacune di Kirkwood della cintura degli asteroidi. Pertanto, sebbene la fisica alla base di tale risultato non sia ancora determinata, queste relazioni empiriche non sembrano essere casuali.

Abbiamo anche determinato che per esponenti k prossimi a 2/3 c’è un minimo convergente sia nell’errore medio che massimo tra la nostra metrica planetaria proposta e sia per i 12 toni musicali che per le 7 consonanze armoniche. In particolare, per il Sistema Solare, tali rapporti planetari sono rappresentati da consonanze musicali armoniche che assumono valori di frequenza pari a 2 ^{n /12} con n= 4, 5, 7 e 8, o, in alternativa, 5/4 (Terza maggiore), 4/3 (quarta perfetta), 3/2 (quinta perfetta) e 8/5 (sesta minore). È interessante notare che i sette pianeti del Sistema Solare Trappista-1 (etichettati b, c, d, e, f, g e h) presentano una serie di rapporti di risonanza orbitale approssimativi nei periodi dei pianeti adiacenti (da b ↔c a g ↔ h) che comprenda le stesse consonanze: si tratta di 8:5, 5:3, 3:2, 3:2, 4:3, 3:2 (cfr Gillon et al., 2017 ; Tamayo et al., 2017 ; Agol et al., 2021), che corrispondono ai toni Ab, A, G, G, F e G (con C come tono di riferimento). Pertanto, suggeriamo che i sistemi orbitali quasi stabili potrebbero essere caratterizzati da rapporti di numeri interi standard come quelli che caratterizzano le consonanze musicali. Tuttavia, questi rapporti possono coinvolgere osservabili fisici diversi dai periodi orbitali. Pertanto, per descrivere i sistemi orbitali dovrebbero essere considerate metriche orbitali alternative e/o complementari.

In effetti, le risonanze di moto medio, in cui i periodi orbitali o le velocità angolari medie dei corpi planetari sono in rapporti di piccoli numeri interi, sono comuni nei sistemi planetari, sia nel nostro Sistema Solare che nei sistemi esoplanetari. Il sistema trappista che menzioniamo è un buon esempio, mentre nel nostro Sistema Solare esiste un’intera rete di risonanze di moto medio tra i satelliti interni di Saturno, ad esempio, con molti altri esempi esistenti altrove (es . Aschwanden, 2018). Queste relazioni sono oggi ben comprese in quanto soddisfano la terza legge di Keplero e possono essere facilmente spiegate nel contesto delle leggi del moto planetario basate sulla gravità newtoniana. I meccanismi fisici che li sostengono, insieme ai processi di evoluzione secolare e mareale che li determinano, sono ben consolidati e gli astrofisici hanno una buona comprensione dell’interazione tra movimento regolare e caotico che è fondamentale per questi (e in realtà in una certa misura tutti) sistemi dinamici. Tuttavia, tali scoperte non escludono la possibilità di forme fisiche alternative di autorganizzazione dei sistemi orbitali che sono ancora oggi sconosciute o non sono state ancora studiate.

Per il nostro Sistema Solare, i rapporti consonantici tra pianeti adiacenti emergono quando i raggi orbitali ellissoidi vengono trasformati in raggi sferici di uguale volume usando l’esponente k = 2/3, ma per il sistema Trappista-1, i raggi orbitali devono essere trasformati in periodi usando l’esponente k = 3/2. Pertanto, sembra che ciò che accade per il Sistema Solare non possa essere facilmente spiegato nei termini dei consueti approcci di risonanza del moto newtoniano. L’evidenza suggerisce che l’esponente k potrebbe differire per diversi sistemi orbitali e l’esponente trovato k = 2/3 potrebbe esprimere una metrica alternativa in grado di produrre una struttura orbitale auto-organizzante.

Questi diversi tipi di strutture armoniche potrebbero in futuro essere adeguatamente compresi e classificati man mano che vengono scoperti sempre più sistemi esoplanetari. Questo compito è reso più difficile oggi perché il test per una relazione come l’ Eq. (25) nei sistemi esoplanetari potrebbe non essere possibile fino a quando la nostra conoscenza di essi non sarà completa. In effetti, è difficile caratterizzare completamente informazioni orbitali dettagliate per tutti i pianeti grandi e piccoli, oltre a possibili cinture di asteroidi in sistemi esoplanetari distanti. La sfida per la ricerca futura sarebbe quella di giustificare la metrica proposta su basi fisiche o di trovare una migliore spiegazione fisica per l’autorganizzazione del Sistema Solare, che, tuttavia, è oggi oggetto di dibattito.

In conclusione, i rapporti dei raggi orbitali di pianeti adiacenti del nostro Sistema Solare, quando elevati ai 2/3 di potenza, esprimono i rapporti semplici che si trovano nelle consonanze musicali armoniche e possono essere espressi da un’equazione semplice, elegante e altamente precisa che rivela simmetrie di scala e speculari della sua distribuzione orbitale planetaria rispetto alla cintura di asteroidi, la cui struttura interna è prevista anche dallo stesso modello illustrato nella Figura 7. Le equazioni (25) e (26) suggeriscono che le simmetrie orbitali dello specchio di scala del Sistema Solare potrebbero essere espresse dall’epogdoon pitagorico (il rapporto di tono 9/8) e la sua aggiunta con un massimo di sei ottave. Inoltre, il rapporto 9/8 è strettamente correlato alle risonanze 3:1 e 7:3 di Giove che formano la cintura degli asteroidi (Eq. (24)), che indica il ruolo primario svolto da Giove nell’organizzazione delle orbite planetarie del pianeta. Sistema solare.

La correlazione matematica che abbiamo presentato tra rapporti musicali idealizzati e dati planetari è molto simile a quella che cercava Johannes Kepler quando pubblicò le sue Harmonices Mundi nel 1619. Il nostro risultato indica inoltre che i movimenti orbitali dei principali corpi del Sistema Solare sono probabilmente altamente organizzati. A questo proposito, vorremmo anche sottolineare che la percezione estetica dei modelli nel nostro ambiente è una dimensione fondamentale della cultura umana ed è stata cruciale nello sviluppo di una comprensione scientifica del mondo naturale. Pertanto, il nostro modello empirico potrebbe portare alla futura scoperta di importanti strutture dinamiche di sistemi orbitali, che oggi sono ancora sconosciute. Vale la pena citare l’ultimo paragrafo del documento originale di Geddes e King-Hele del 1983: “Il significato delle molte quasi uguaglianze è molto difficile da valutare. Gli hard-boiled possono liquidarli come semplici giochi di numeri; ma coloro che hanno occhi per vedere e orecchie per udire possono trovare tracce di “qualcosa di molto più profondamente interconnesso” nel fatto che l’intervallo medio tra le note musicali emerge come l’unica costante numerica richiesta, un risultato che sicuramente avrebbe soddisfatto Keplero.

Dichiarazione sulla disponibilità dei dati

I dati utilizzati nello studio sono riportati nella Tabella 2. (Dati planetari da: https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/ ).

Contributi dell’autore

MB ha contribuito all’interpretazione dei risultati sulla base della teoria musicale; NS ha sviluppato l’interpretazione scientifica e astronomica dei risultati, ha scritto e organizzato il documento. Entrambi gli autori condividono la prima paternità, hanno contribuito alla discussione e hanno letto e curato il testo del manoscritto finale.

Conflitto d’interesse

Gli autori dichiarano che la ricerca è stata condotta in assenza di rapporti commerciali o finanziari che possano essere interpretati come un potenziale conflitto di interessi.

Nota dell’editore

Tutte le affermazioni espresse in questo articolo sono esclusivamente quelle degli autori e non rappresentano necessariamente quelle delle loro organizzazioni affiliate.

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Parole chiave: sistema solare, autorganizzazione orbitale, simmetrie orbitali, risonanze orbitali, musica e astronomia

Citazione: Bank MJ e Scafetta N (2022) Ridimensionamento, simmetrie speculari e consonanze musicali tra le distanze dei pianeti del sistema solare. Frontiers in Astronomy and Space Science. 8:758184. doi: 10.3389/fspas.2021.758184

Modificato da: Robert C. Allen, Johns Hopkins University, Stati Uniti

L’articolo originale in inglese è “Scaling, Mirror Symmetries and Musical Consonances Among the Distances of the Planets of the Solar System”, pubblicato il 14 gennaio 2022 su Frontiers in Astronomy and Space Science, al link https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fspas.2021.758184/full ( https://doi.org/10.3389/fspas.2021.758184 ).

*Correspondence: Nicola Scafetta, [email protected]

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Ridimensionamento, simmetrie speculari e consonanze musicali tra le distanze dei pianeti del sistema solare

Autori:

Abstract

Introduzione

I sistemi di accordatura 12-TJI e 12-TET e le loro consonanze

Tentativi di base per trovare toni e consonanze musicali nei rapporti dei parametri orbitali di pianeti adiacenti

Le equazioni di Geddes-King-Hele

Una trasformazione non lineare delle equazioni di Geddes-King-Hele

Conclusione

Dichiarazione sulla disponibilità dei dati

Contributi dell’autore

Conflitto d’interesse

Nota dell’editore

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